Usando o teorema do confronto, calcule o limite da sequência xn = raiz(3^n + 4^n). Em seguida, considere y_n = raiz(a^n + b^n), onde a, b ≥ 0 são constantes e calcule seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da sequência usando o Teorema do Confronto, que é uma ferramenta pra calcular limites quando temos uma função que está ‘presa’ entre duas outras. Depois, vamos generalizar para , onde e são constantes não negativas. Para isso, vamos precisar entender o comportamento das potências e das raízes quando aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na sequência . Observe que dentro da raiz, temos duas potências: e . Como está no expoente, conforme cresce, qual dessas duas vai crescer mais rápido?

Passo 3

Comparando e , percebemos que cresce mais rápido que porque 4 é maior que 3. Então, para valores grandes de , vai dominar a soma .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema do Confronto. Sabemos que . Tirando a raiz -ésima em todas as partes, temos:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. porque a raiz -ésima de é exatamente 4.
  2. .
À medida que vai para o infinito, tende a 1, já que qualquer número positivo fixo elevado a se aproxima de 1 quando cresce.

Passo 6

Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Isso significa que o limite é 4.

Passo 7

Agora, vamos generalizar para , onde . Sem perda de generalidade, vamos supor que .

Passo 8

Similar ao que fizemos antes, temos:
Tirando a raiz -ésima:

Passo 9

Como tende ao infinito, tende a 1. Assim, pelo Teorema do Confronto:
Logo, o limite é .

Resposta

O limite de é 4, e o limite de é .

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