Usando o teorema do confronto, calcule o limite da sequência
. Em seguida, considere
, onde
são constantes e calcule seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da sequência
usando o Teorema do Confronto, que é uma ferramenta pra calcular limites quando temos uma função que está ‘presa’ entre duas outras. Depois, vamos generalizar para
, onde
e
são constantes não negativas. Para isso, vamos precisar entender o comportamento das potências e das raízes quando
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na sequência
. Observe que dentro da raiz, temos duas potências:
e
. Como
está no expoente, conforme
cresce, qual dessas duas vai crescer mais rápido?
Passo 3
Comparando
e
, percebemos que
cresce mais rápido que
porque 4 é maior que 3. Então, para valores grandes de
,
vai dominar a soma
.
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema do Confronto. Sabemos que
. Tirando a raiz
-ésima em todas as partes, temos:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
-
porque a raiz -ésima de é exatamente 4. -
.
À medida que
vai para o infinito,
tende a 1, já que qualquer número positivo fixo elevado a
se aproxima de 1 quando
cresce.
Passo 6
Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Isso significa que o limite é 4.
Passo 7
Agora, vamos generalizar para
, onde
. Sem perda de generalidade, vamos supor que
.
Passo 8
Similar ao que fizemos antes, temos:
Tirando a raiz
-ésima:
Passo 9
Como
tende ao infinito,
tende a 1. Assim, pelo Teorema do Confronto:
Logo, o limite é
.
Resposta
O limite de
é 4, e o limite de
é
.