Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f) . Dica: como , mostre a convergência usando o teste da razão e por fim, aplique o teste da comparação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão e o Teste da Comparação. Precisamos analisar os termos da série e comparar com uma série que a gente já conhece para ver se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.
Sabemos que para todo , então:
Agora, vamos analisar a série usando o Teste da Razão para ver se ela converge.
Passo 3
Teste da Razão: Para uma série an = 1n! an+1 = 1(n+1)! = 1(n+1) cdot n! = 1n+1 cdot an , calculamos o limite L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 1n+1 | = 0 .
Se , a s��rie converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na série :
Agora, aplicando o teste:
Como , a série converge absolutamente.
Passo 4
Agora que sabemos que sumn=1^infty |cos(n pi / 3)n!| <= sumn=1^infty 1n! converge, vamos usar o Teste da Comparação para a série original.
Temos:
Como a série maior () converge e os termos da série original são menores ou iguais, pelo Teste da Comparação, a série dos módulos também converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.