Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b) sumn=1^infty(-1)^n nn^2+4. Dica: Mostre que a série converge usando o teste das séries alternadas e depois, em módulo, use o teste de comparação no limite usando como base a série harmônica divergente para mostrar que a série não converge em módulo. Logo ela é condicionalmente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar dois testes: o Teste das Séries Alternadas para verificar a convergência e o Teste de Comparação no Limite para analisar a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste é útil para séries que alternam sinais, como a nossa. Ele diz que se:
  1. O termo geral tende a zero quando tende ao infinito.
  2. A sequência é decrescente.
Então, a série converge.
Vamos verificar essas condições:
  1. .
  2. Para , a função é decrescente porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Como as duas condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste das Séries Alternadas.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
limn to infty nn^2+41n = limn to infty n^2n^2+4 = 1 .
Vamos usar o Teste de Comparação no Limite comparando com a série harmônica , que sabemos ser divergente.
Calculamos o limite:
Como o limite é uma constante diferente de zero e a série harmônica diverge, pela regra do teste de comparação no limite, a série também diverge.

Passo 4

Como a série original converge pelo Teste das Séries Alternadas, mas a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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