Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b) . Dica: Mostre que a série converge usando o teste das séries alternadas e depois, em módulo, use o teste de comparação no limite usando como base a série harmônica divergente para mostrar que a série não converge em módulo. Logo ela é condicionalmente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar dois testes: o Teste das Séries Alternadas para verificar a convergência e o Teste de Comparação no Limite para analisar a convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste é útil para séries que alternam sinais, como a nossa. Ele diz que se:
O termo geral tende a zero quando tende ao infinito.
A sequência é decrescente.
Então, a série converge.
Vamos verificar essas condições:
.
Para , a função é decrescente porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Como as duas condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste das Séries Alternadas.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
.
Vamos usar o Teste de Comparação no Limite comparando com a série harmônica , que sabemos ser divergente.
Calculamos o limite:
Como o limite é uma constante diferente de zero e a série harmônica diverge, pela regra do teste de comparação no limite, a série também diverge.
Passo 4
Como a série original converge pelo Teste das Séries Alternadas, mas a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série é condicionalmente convergente.