Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries e vamos usar alguns testes para descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty |(-1)^n-1 raiznn+1| = sumn=1^infty raiznn+1

Passo 3

Agora, para saber se essa série converge, podemos simplificar o termo geral. Observe que:
raiznn+1 = raiznn (1 + 1n) = 1raizn (1 + 1n)
Quando fica grande, é quase zero, então a expressão se comporta como .

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p com . Séries p convergem se e divergem se . Como , essa série diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda pode ser condicionalmente convergente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem decrescentes e tendirem a zero, então a série alternada converge.

Passo 6

Vamos verificar:
  1. Decrescimento: . Comparando com , observamos que , o que faz com que para grande.
  2. Limite:

Resposta

Portanto, a série é condicionalmente convergente.

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