Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries e vamos usar alguns testes para descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos:
Passo 3
Agora, para saber se essa série converge, podemos simplificar o termo geral. Observe que:
raiznn+1 = raiznn (1 + 1n) = 1raizn (1 + 1n)
Quando fica grande, é quase zero, então a expressão se comporta como .
Passo 4
Sabemos que a série é uma série p com . Séries p convergem se e divergem se . Como , essa série diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda pode ser condicionalmente convergente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem decrescentes e tendirem a zero, então a série alternada converge.
Passo 6
Vamos verificar:
Decrescimento: . Comparando com , observamos que , o que faz com que para grande.