Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série . O objetivo aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que estudamos em cálculo, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergente absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos converge.
Convergente condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: Se a série original não converge.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Essa série é semelhante à série , que sabemos que converge (é uma p-série com ). Agora, vamos usar o Teste da Comparação.
Passo 5
Perceba que para todo :
Como converge e , pela comparação, a série também converge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.