Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série . O objetivo aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que estudamos em cálculo, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos converge.
  • Convergente condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: Se a série original não converge.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:

Passo 4

Essa série é semelhante à série , que sabemos que converge (é uma p-série com ). Agora, vamos usar o Teste da Comparação.

Passo 5

Perceba que para todo :
Como converge e , pela comparação, a série também converge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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