Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty (-1)^n n(n+1)(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a série tem termos que alternam entre positivo e negativo por causa de . Isso indica que estamos lidando com uma série alternada. Para séries assim, um método eficiente é o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que a série converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite dos termos quando tende ao infinito é zero, ou seja, .

Passo 4

Vamos identificar an = n(n+1)(n+2) na nossa série:
Agora, precisamos verificar se é decrescente e se o limite de é zero.

Passo 5

Vamos calcular o limite de limn to infty n(n+1)(n+2) = limn to infty nn^2 + 3n + 2 = limn to infty 1n + 3 + 2n = 0 quando tende ao infinito:
Então, a segunda condição do teste é satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos verificar se an = n(n+1)(n+2) é decrescente. Observando a expressão:
Conforme aumenta, o numerador cresce linearmente, mas o denominador cresce quadraticamente. Isso faz com que diminua conforme aumenta, ou seja, é decrescente.

Passo 7

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas ( é decrescente e ), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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