Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a série tem termos que alternam entre positivo e negativo por causa de
. Isso indica que estamos lidando com uma série alternada. Para séries assim, um método eficiente é o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que a série
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite dos termos
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos identificar
na nossa série:
Agora, precisamos verificar se
é decrescente e se o limite de
é zero.
Passo 5
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, a segunda condição do teste é satisfeita.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é decrescente. Observando a expressão:
Conforme
aumenta, o numerador cresce linearmente, mas o denominador cresce quadraticamente. Isso faz com que
diminua conforme
aumenta, ou seja,
é decrescente.
Passo 7
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas (
é decrescente e
), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.
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Encontre a área entre as funções dadas no intervalo indicado.
Nas resposta final, use aproximação de 2 casas decimais. Use ponto para separar a parte inteira da parte decimal.
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intervalo:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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