Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a série tem termos que alternam entre positivo e negativo por causa de . Isso indica que estamos lidando com uma série alternada. Para séries assim, um método eficiente é o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que a série converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite dos termos quando tende ao infinito é zero, ou seja, .

Passo 4

Vamos identificar na nossa série:
Agora, precisamos verificar se é decrescente e se o limite de é zero.

Passo 5

Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Então, a segunda condição do teste é satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é decrescente. Observando a expressão:
Conforme aumenta, o numerador cresce linearmente, mas o denominador cresce quadraticamente. Isso faz com que diminua conforme aumenta, ou seja, é decrescente.

Passo 7

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas ( é decrescente e ), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Encontre a área entre as funções dadas no intervalo indicado.
Nas resposta final, use aproximação de 2 casas decimais. Use ponto para separar a parte inteira da parte decimal.
intervalo:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.