Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n 2^nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Séries, especificamente sobre convergência de séries. Vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergência Absoluta: A série converge. Se isso acontecer, a série original também converge, independentemente dos sinais alternados.
  • Convergência Condicional: A série converge, mas a série não converge.
  • Divergente: A série não converge.
Vamos começar verificando a convergência absoluta.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, olha a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n 2^nn^2+1 | = sumn=1^infty 2^nn^2+1
Agora, precisamos ver se essa série converge. Vamos comparar com uma série conhecida. Observamos que para todo 2^nn^2+1 < 2^nn^2 , , então:
Sabemos que a série é divergente porque o termo cresce exponencialmente, muito mais rápido que . Então, por comparação, a série dos valores absolutos também diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, vamos verificar se a série original limn to infty 2^nn^2+1 = infty converge de forma condicional.
Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem decrescentes e tendirem a zero, a série alternada converge.
Vamos verificar:
  1. Limite dos termos:
Como o limite não é zero, o teste já indica que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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