Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Séries, especificamente sobre convergência de séries. Vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergência Absoluta: A série converge. Se isso acontecer, a série original também converge, independentemente dos sinais alternados.
Convergência Condicional: A série converge, mas a série não converge.
Divergente: A série não converge.
Vamos começar verificando a convergência absoluta.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, olha a série dos valores absolutos:
Agora, precisamos ver se essa série converge. Vamos comparar com uma série conhecida. Observamos que para todo , , então:
Sabemos que a série é divergente porque o termo cresce exponencialmente, muito mais rápido que . Então, por comparação, a série dos valores absolutos também diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, vamos verificar se a série original converge de forma condicional.
Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem decrescentes e tendirem a zero, a série alternada converge.
Vamos verificar:
Limite dos termos:
Como o limite não é zero, o teste já indica que a série diverge.