Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Então, o que temos aqui é uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem uma soma finita). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Vamos precisar simplificar a expressão para aplicar esses testes de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada no termo geral da série, que é
. Vamos reescrever o denominador:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora nossa série fica assim:
Podemos tirar o 3 da soma porque é uma constante:
O que temos aqui é uma série geométrica, que é da forma
, onde
é a razão comum entre os termos. No nosso caso,
.
Passo 4
Para séries geométricas, sabemos que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Aqui,
, e
. Portanto, nossa série converge.
Resposta
A série
converge.