Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty 4^n3^2 n-1

Passo 1

Então, o que temos aqui é uma série infinita: sumn=1^infty 4^n3^2n-1. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem uma soma finita). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Vamos precisar simplificar a expressão para aplicar esses testes de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada no termo geral da série, que é 4^n3^2n-1. Vamos reescrever o denominador:
3^2n-1 = 3^2n cdot 3^-1 = 3^2n3
Então, substituindo de volta:
4^n3^2n-1 = 4^n cdot 33^2n = 3 cdot (49)^n

Passo 3

Agora nossa série fica assim:
sumn=1^infty 3 cdot (49)^n
Podemos tirar o 3 da soma porque é uma constante:
3 sumn=1^infty (49)^n
O que temos aqui é uma série geométrica, que é da forma sumn=1^infty r^n, onde r é a razão comum entre os termos. No nosso caso, r = 49.

Passo 4

Para séries geométricas, sabemos que:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Aqui, r = 49, e |49| = 49 < 1. Portanto, nossa série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 4^n3^2n-1 converge.

Exercícios relacionados