Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(a)
(dica: escreva a série usando um somatório).
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a seguinte série:
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência dessa série usando o Teste das Séries Alternadas. Se esse teste não funcionar, a gente tenta o Teste da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar séries usando somatórios e aplicar os testes mencionados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série de forma mais organizada usando a notação de somatório. Observando o padrão dos termos, percebemos que os denominadores aumentam de 2 em 2 e os sinais alternam entre positivo e negativo. Assim, podemos escrever a série como:
Aqui,
é o termo que alterna os sinais dos termos da série.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série alternada
converge se:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente: para todo . -
.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identificamos
.
- Positividade:
é positivo para todo , pois o numerador e o denominador são positivos. - Decrescimento: Vamos ver se
.
Comparando com
:
Portanto,
é decrescente.
- Limite dos termos: Calculamos o limite de
quando vai para o infinito.
Como todas as três condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste das Séries Alternadas.
Resposta
A série
converge pelo Teste das Séries Alternadas.