Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(a) 2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - ... (dica: escreva a série usando um somatório).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte série:
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência dessa série usando o Teste das Séries Alternadas. Se esse teste não funcionar, a gente tenta o Teste da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar séries usando somatórios e aplicar os testes mencionados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de forma mais organizada usando a notação de somatório. Observando o padrão dos termos, percebemos que os denominadores aumentam de 2 em 2 e os sinais alternam entre positivo e negativo. Assim, podemos escrever a série como:
Aqui, é o termo que alterna os sinais dos termos da série.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência decrescente: para todo .
  3. .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identificamos .
  1. Positividade: é positivo para todo , pois o numerador e o denominador são positivos.
  2. Decrescimento: Vamos ver se .
Comparando com :
Portanto, é decrescente.
  1. Limite dos termos: Calculamos o limite de quando vai para o infinito.
Como todas as três condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste das Séries Alternadas.

Resposta

A série converge pelo Teste das Séries Alternadas.

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