Nos itens abaixo, verifique que z_xy = z_yx.
z = ln(2 x + 3 y)

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos a função e precisamos verificar se as derivadas parciais mistas e são iguais.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com derivadas parciais e derivadas mistas. Precisamos usar regras de derivação para funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia.
O que vamos precisar:
  • Regra da derivada do logaritmo natural.
  • Regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Calculando a derivada parcial de em relação a ( ):
A função é .
A derivada de em relação a é , e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então:

Passo 3

Calculando a derivada parcial mista :
Agora, derivamos em relação a .
Usando a regra da derivada de , que é , temos:

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a ( ):
Voltando à função original , derivamos em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial mista :
Agora, derivamos em relação a .
Aplicando a regra da derivada de novamente:

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais:

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