Nos itens abaixo, verifique que
.
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos a função e precisamos verificar se as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Temos a função
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com derivadas parciais e derivadas mistas. Precisamos usar regras de derivação para funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia.
Vamos trabalhar com derivadas parciais e derivadas mistas. Precisamos usar regras de derivação para funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia.
O que vamos precisar:
- Regra da derivada do logaritmo natural.
- Regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
Passo 2
Calculando a derivada parcial de
em relação a
(
):
A função é
.
A derivada de em relação a
é
, e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
A derivada de
Então:
Passo 3
Calculando a derivada parcial mista
:
Agora, derivamos
em relação a
.
Usando a regra da derivada de
, que é
, temos:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
(
):
Voltando à função original
, derivamos em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial mista
:
Agora, derivamos
em relação a
.
Aplicando a regra da derivada de
novamente:
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais: