Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n 2^n n!5 cdot 8 cdot 11 cdot ldots cdot(3 n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty (-1)^n 2^n n!5 cdot 8 cdot 11 cdot ldots cdot (3n+2)
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada tipo de convergência significa:
  • Absolutamente convergente: A série dos valores absolutos converge.
  • Condicionalmente convergente: A série converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: A série não converge.
Vamos analisar a série original e também a série dos valores absolutos.

Passo 3

Vamos começar observando a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n 2^n n!5 cdot 8 cdot 11 cdot ldots cdot (3n+2) | = sumn=1^infty 2^n n!5 cdot 8 cdot 11 cdot ldots cdot (3n+2)
Precisamos verificar se essa série converge.

Passo 4

Para simplificar o denominador, vamos reescrever o produto:
5 cdot 8 cdot 11 cdot ldots cdot (3n+2) = prodk=1^n (3k + 2)
Então, a série dos valores absolutos fica:
sumn=1^infty 2^n n!prodk=1^n (3k + 2)

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. O teste diz que se
L = limn to infty | an+1an |
e:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, .

Passo 6

Calculando an+1 = 2^n+1 (n+1)!prodk=1^n+1 (3k + 2) = 2 cdot 2^n (n+1) n!(3(n+1)+2) prodk=1^n (3k + 2) = 2 (n+1) an3n + 5 :
an+1an = 2 (n+1)3n + 5
Então, a razão é:

Passo 7

Agora, calculamos o limite L = limn to infty 2 (n+1)3n + 5 = limn to infty 2n + 23n + 5 = 23 :
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.

Passo 8

Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a absoluta já garante a convergência da série original.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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