Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada tipo de convergência significa:
Absolutamente convergente: A série dos valores absolutos converge.
Condicionalmente convergente: A série converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: A série não converge.
Vamos analisar a série original e também a série dos valores absolutos.
Passo 3
Vamos começar observando a série dos valores absolutos:
Precisamos verificar se essa série converge.
Passo 4
Para simplificar o denominador, vamos reescrever o produto:
Agora, calculamos o limite L = limn to infty 2 (n+1)3n + 5 = limn to infty 2n + 23n + 5 = 23 :
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.
Passo 8
Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a absoluta já garante a convergência da série original.