Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Então, temos o exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos resolver isso usando conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Para isso, vamos precisar entender sobre séries absolutas e comparar com séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que consideramos os valores absolutos dos termos da série e verificamos se essa nova série converge. Então, a série dos valores absolutos fica:

Passo 3

Sabemos que é sempre menor ou igual a 1, pois o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se .

Passo 5

Como , a série converge. Então, pela Comparação Direta, nossa série original dos valores absolutos também converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Dadas as funções e . Determine: