Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Então, temos o exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos resolver isso usando conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Para isso, vamos precisar entender sobre séries absolutas e comparar com séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que consideramos os valores absolutos dos termos da série e verificamos se essa nova série converge. Então, a série dos valores absolutos fica:
Passo 3
Sabemos que é sempre menor ou igual a 1, pois o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa série com a série . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se .
Passo 5
Como , a série converge. Então, pela Comparação Direta, nossa série original dos valores absolutos também converge.