Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio da função complexa , onde . Domínio significa todos os valores de (ou seja, todos os pares de e ) para os quais a função está bem definida. Para resolver isso, precisamos ver onde a função não dá problema, tipo divisão por zero ou indefinições.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte real da função: . Aqui temos uma fração, e o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, temos que garantir que .

Passo 3

Vamos entender o que significa . A soma dos quadrados de e só é igual a zero quando ambos e são zero. Ou seja, e .

Passo 4

Isso significa que o único ponto que causaria problema na parte real da função é quando (porque ). Porém, na parte imaginária da função , não temos nenhuma restrição adicional, já que multiplicar ou dividir por e são operações válidas desde que e sejam números reais.

Passo 5

Então, juntando tudo, o domínio da função inclui todos os números complexos exceto quando . Em outras palavras, a função está definida para todo onde .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os números complexos tais que . Ou seja:
í

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