Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da razão e o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a análise. Observando o termo geral:
Podemos reescrever isso como:
Isso ajuda a separar a parte alternada da parte positiva da série.
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, precisamos analisar a série dos valores absolutos:
Simplificando um pouco mais:
Então, a série de valores absolutos fica:
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos valores absolutos. O teste da razão nos diz que se:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Aplicando o teste:
Calculando o limite:
Como , a série dos valores absolutos diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente utilizando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
Os termos positivos são decrescentes.
O limite dos termos positivos tende a zero.
Analisando os termos positivos da nossa série:
Mesmo que tenda a zero, o fator cresce exponencialmente. Portanto, os termos não tendem a zero.