Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n+1 5^n-1(n+1)^2 4^n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da razão e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a análise. Observando o termo geral:
an = (-1)^n+1 5^n-1(n+1)^2 4^n+2
Podemos reescrever isso como:
an = (-1)^n+1(n+1)^2 cdot 5^n-14^n+2
Isso ajuda a separar a parte alternada da parte positiva da série.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, precisamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 5^n-1(n+1)^2 4^n+2 | = sumn=1^infty 5^n-1(n+1)^2 4^n+2
Simplificando um pouco mais:
5^n-14^n+2 = 5^n cdot 5^-14^n cdot 4^2 = 15 cdot 16 ( 54 )^n
Então, a série de valores absolutos fica:
sumn=1^infty 180 ( 54 )^n cdot 1(n+1)^2

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos valores absolutos. O teste da razão nos diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
  • Se | an+1an | = ( 54 )^n+1 cdot 1(n+2)^2( 54 )^n cdot 1(n+1)^2 = 54 cdot ( n+1n+2 )^2 , a série converge absolutamente.
  • Se limn to infty 54 cdot ( n+1n+2 )^2 = 54 cdot 1 = 54 > 1 , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aplicando o teste:
Calculando o limite:
Como , a série dos valores absolutos diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente utilizando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos positivos são decrescentes.
  2. O limite dos termos positivos tende a zero.
Analisando os termos positivos da nossa série:
bn = 5^n-1(n+1)^2 4^n+2 = 180 ( 54 )^n cdot 1(n+1)^2
Mesmo que tenda a zero, o fator cresce exponencialmente. Portanto, os termos não tendem a zero.

Resposta

A série é divergente.

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