Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da razão e o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a análise. Observando o termo geral:
Podemos reescrever isso como:
Isso ajuda a separar a parte alternada da parte positiva da série.
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, precisamos analisar a série dos valores absolutos:
Vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos valores absolutos. O teste da razão nos diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
Se | an+1an | = ( 54 )^n+1 cdot 1(n+2)^2( 54 )^n cdot 1(n+1)^2 = 54 cdot ( n+1n+2 )^2 , a série converge absolutamente.
Se limn to infty 54 cdot ( n+1n+2 )^2 = 54 cdot 1 = 54 > 1 , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Aplicando o teste:
Calculando o limite:
Como , a série dos valores absolutos diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente utilizando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se: