Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função complexa
, onde
. Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, encontrar todos os números complexos
para os quais a função está definida. Para isso, precisamos saber quando o logaritmo natural
é válido e garantir que todas as partes da função sejam bem definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte real da função, que é
. O logaritmo natural está definido apenas para números reais positivos. Portanto, para que
exista, o valor de
deve ser maior que zero:
Passo 3
Agora, olhemos para a parte imaginária da função, que é
. Essa expressão é válida para qualquer valor de
e
, já que operações aritméticas básicas como adição e multiplicação por um número imaginário estão sempre definidas no conjunto dos números complexos.
Passo 4
Como a parte imaginária não impõe restrições adicionais, o único requisito para que a função
esteja definida é que
. Isso significa que o domínio da função é todo número complexo
onde a parte real
é positiva.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os números complexos
onde
.
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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
Dadas as funções
e
. Determine:
Determine as funções parte real e parte imaginária das seguintes funções complexas de complexa: