Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função complexa , onde . Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, encontrar todos os números complexos para os quais a função está definida. Para isso, precisamos saber quando o logaritmo natural é válido e garantir que todas as partes da função sejam bem definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte real da função, que é . O logaritmo natural está definido apenas para números reais positivos. Portanto, para que exista, o valor de deve ser maior que zero:

Passo 3

Agora, olhemos para a parte imaginária da função, que é . Essa expressão é válida para qualquer valor de e , já que operações aritméticas básicas como adição e multiplicação por um número imaginário estão sempre definidas no conjunto dos números complexos.

Passo 4

Como a parte imaginária não impõe restrições adicionais, o único requisito para que a função esteja definida é que . Isso significa que o domínio da função é todo número complexo onde a parte real é positiva.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os números complexos onde .

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
Dadas as funções e . Determine:
Determine as funções parte real e parte imaginária das seguintes funções complexas de complexa: