Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado! Temos a série . O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos analisar a série com os valores absolutos dos termos, ou seja, .
Passo 3
Para determinar a convergência dessa série absoluta, observamos o comportamento do termo geral quando tende ao infinito:
Como o limite não é zero (), segundo o Teste da Divergência, a série diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 5
O Teste da Série Alternada diz que, para uma série da forma , a série converge se:
é decrescente.
.
No nosso caso, . Já vimos que . Portanto, a série não satisfaz as condições do Teste da Série Alternada.