Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado! Temos a série . O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos analisar a série com os valores absolutos dos termos, ou seja, .

Passo 3

Para determinar a convergência dessa série absoluta, observamos o comportamento do termo geral quando tende ao infinito:
Como o limite não é zero ( ), segundo o Teste da Divergência, a série diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 5

O Teste da Série Alternada diz que, para uma série da forma , a série converge se:
  1. é decrescente.
  2. .
No nosso caso, . Já vimos que . Portanto, a série não satisfaz as condições do Teste da Série Alternada.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
In this problem, we will evaluate the double integral
using polar coordinates.
(b) Rewrite the region using polar coordinates.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.