Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observa-se que pode ser reescrito como e como . Assim, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos módulos:
Observamos que é uma série com termos positivos.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência dessa série absoluta. O Teste da Razão diz que se:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então:
Calculando o limite:
Passo 5
Como , pelo Teste da Razão, a série dos módulos diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente aplicando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge.
Temos que:
Vamos verificar os dois critérios:
para todo .
porque cresce exponencialmente enquanto cresce polinomialmente.
Passo 7
Já que , o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge.