Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (-1)^n+1 5^n-1(n+1)^2 4^n+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observa-se que (-1)^n+1 5^n-1(n+1)^2 4^n+2 = (-1)^n+1 cdot 5^n5(n+1)^2 cdot 16 cdot 4^n = (-1)^n+1 5^n5 cdot 16 cdot (n+1)^2 cdot 4^n = (-1)^n+1 (5/4)^n80 (n+1)^2 pode ser reescrito como e como . Assim, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos módulos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 (5/4)^n80 (n+1)^2 | = sumn=1^infty (5/4)^n80 (n+1)^2
Observamos que é uma série com termos positivos.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência dessa série absoluta. O Teste da Razão diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
Se an+1an = (5/4)^n+180 (n+2)^2 cdot 80 (n+1)^2(5/4)^n = 54 cdot ( n+1n+2 )^2 , a série converge absolutamente; se L = limn to infty 54 cdot ( n+1n+2 )^2 = 54 cdot ( 11 )^2 = 54 = 1.25 , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então:
Calculando o limite:

Passo 5

Como , pelo Teste da Razão, a série dos módulos diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente aplicando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos an = (5/4)^n80 (n+1)^2 são decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge.
Temos que:
Vamos verificar os dois critérios:
  1. para todo .
  2. porque cresce exponencialmente enquanto cresce polinomialmente.

Passo 7

Já que , o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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