Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observa-se que pode ser reescrito como e como . Assim, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos módulos:
Observamos que é uma série com termos positivos.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência dessa série absoluta. O Teste da Razão diz que se:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então:
Calculando o limite:

Passo 5

Como , pelo Teste da Razão, a série dos módulos diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente aplicando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge.
Temos que:
Vamos verificar os dois critérios:
  1. para todo .
  2. porque cresce exponencialmente enquanto cresce polinomialmente.

Passo 7

Já que , o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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