Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a série infinita e precisamos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para fazer isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e alguns testes de convergência.
Passo 2
Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Isso significa que devemos analisar a série com os valores absolutos dos termos originais:
Essa série é semelhante à conhecida série harmônica (), que sabemos que diverge. Já que a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Como a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz), que afirma que uma série da forma converge se:
Os termos são positivos.
Os termos são decrescentes.
.
No nosso caso, .
Positivos: Sim, para todo .
Decrescentes: Sim, conforme aumenta, diminui.
Limite zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge condicionalmente.