Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a série infinita e precisamos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para fazer isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e alguns testes de convergência.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Isso significa que devemos analisar a série com os valores absolutos dos termos originais:
Essa série é semelhante à conhecida série harmônica ( ), que sabemos que diverge. Já que a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Como a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz), que afirma que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes.
  3. .
No nosso caso, .
  • Positivos: Sim, para todo .
  • Decrescentes: Sim, conforme aumenta, diminui.
  • Limite zero: .
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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In this problem, we will evaluate the double integral
using polar coordinates.
(b) Rewrite the region using polar coordinates.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.