Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (-1)^n+12 n+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a série infinita sumn=1^infty (-1)^n+12n+1 e precisamos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para fazer isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e alguns testes de convergência.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Isso significa que devemos analisar a série com os valores absolutos dos termos originais:
sumn=1^infty | (-1)^n+12n+1 | = sumn=1^infty 12n+1
Essa série é semelhante à conhecida série harmônica ( sum 1n), que sabemos que diverge. Já que a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Como a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz), que afirma que uma série da forma sum (-1)^n bn converge se:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. Os termos bn são decrescentes.
  3. limn to infty bn = 0.
No nosso caso, bn = 12n+1.
  • Positivos: Sim, bn > 0 para todo n.
  • Decrescentes: Sim, conforme n aumenta, bn diminui.
  • Limite zero: limn to infty 12n+1 = 0.
Como todas as condições são satisfeitas, a série sumn=1^infty (-1)^n+12n+1 converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+12n+1 é condicionalmente convergente.

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