Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Então, a gente tem uma série pra analisar se ela converge ou diverge. A série é:
. Vamos usar os conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo
faz o sinal dos termos alternar entre positivo e negativo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos absolutos
forem decrescentes e o limite de
quando
tende ao infinito for zero, então a série converge.
Passo 4
Vamos verificar se
é decrescente. Note que conforme
aumenta,
também aumenta, então
diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de
quando
vai para o infinito:
Então, o limite é zero.
Passo 6
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (termos decrescentes e limite zero), a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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