Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Então, a gente tem uma série pra analisar se ela converge ou diverge. A série é: . Vamos usar os conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo faz o sinal dos termos alternar entre positivo e negativo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos absolutos forem decrescentes e o limite de quando tende ao infinito for zero, então a série converge.

Passo 4

Vamos verificar se é decrescente. Note que conforme aumenta, também aumenta, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de quando vai para o infinito:
Então, o limite é zero.

Passo 6

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (termos decrescentes e limite zero), a série converge.

Resposta

A série converge.

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