Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente verificar se a soma infinita converge ou diverge. Isso está relacionado a séries infinitas na matemática, onde somamos termos que continuam indo até o infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a decidir se a série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, o Teste da Razão funciona assim: a gente olha para a razão entre um termo e o termo seguinte da série. Se o limite dessa razão for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Matematicamente, isso é escrito como:
Se , converge; se , diverge.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, cada termo é . Então, o próximo termo será .
Vamos montar a razão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que e . Substituindo isso na equação:
Passo 5
Agora, calculamos o limite dessa razão quando vai para o infinito:
Passo 6
Como e 0 é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.