Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=0^infty 10^nn!

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente verificar se a soma infinita sumn=0^infty 10^nn! converge ou diverge. Isso está relacionado a séries infinitas na matemática, onde somamos termos que continuam indo até o infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a decidir se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Razão funciona assim: a gente olha para a razão entre um termo e o termo seguinte da série. Se o limite dessa razão for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Matematicamente, isso é escrito como:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, converge; se L > 1, diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, cada termo an é 10^nn!. Então, o próximo termo an+1 será 10^n+1(n+1)!.
Vamos montar a razão:
an+1an = 10^n+1(n+1)!10^nn! = 10^n+1 cdot n!10^n cdot (n+1)!

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que 10^n+1 = 10 cdot 10^n e (n+1)! = (n+1) cdot n!. Substituindo isso na equação:
10 cdot 10^n cdot n!10^n cdot (n+1) cdot n! = 10n+1

Passo 5

Agora, calculamos o limite dessa razão quando n vai para o infinito:
L = limn to infty 10n+1 = 0

Passo 6

Como L = 0 e 0 é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=0^infty 10^nn! converge.

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