Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2

Passo 1

Vamos analisar a série . O assunto aqui é convergência de séries infinitas. Para descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite . Se esse limite for:
  • Menor que 1: a série converge absolutamente.
  • Maior que 1: a série diverge.
  • Igual a 1: o teste não é conclusivo, e precisamos usar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identifiquemos an = (2n)!(n!)^2 :
an+1an = (2(n+1))!((n+1)!)^2 cdot (n!)^2(2n)!
Agora, calculemos :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
an+1an = (2n + 2)(2n + 1)(2n)!(n + 1)^2 (n!)^2 cdot (n!)^2(2n)! = (2n + 2)(2n + 1)(n + 1)^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando limn to infty (2n + 2)(2n + 1)(n + 1)^2 = limn to infty 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1 = 4 tende ao infinito:
Como o limite é 4, que é maior que 1, pelo Teste da Razão, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados