Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede pra investigarmos se a integral
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias. Vamos precisar entender o que significa uma integral imprópria e como determinar sua convergência ou divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função dentro da integral para simplificar a análise. Temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa integral. A função
é uma potência de
, então podemos usar a regra de integração para potências, que diz:
No nosso caso,
, que não é igual a -1, então podemos aplicar a regra.
Passo 4
Aplicando a regra de integração:
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 2.
Passo 5
Vamos calcular o valor da integral definida:
Simplificando:
Passo 6
Agora, observamos o comportamento quando
se aproxima de 0:
Portanto, a expressão se torna:
Resposta
A integral
diverge.