Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(d) integral0^2 1x raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede pra investigarmos se a integral converge ou diverge. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias. Vamos precisar entender o que significa uma integral imprópria e como determinar sua convergência ou divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função dentro da integral para simplificar a análise. Temos:
1x raizx = 1x^1 cdot x^1/2 = 1x^3/2
Então, a integral fica:
integral0^2 1x^3/2 , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa integral. A função integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para (n neq -1)) é uma potência de , então podemos usar a regra de integração para potências, que diz:
No nosso caso, , que não é igual a -1, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Aplicando a regra de integração:
integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = x^-1/2-1/2 + C = -2 x^-1/2 + C
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 2.

Passo 5

Vamos calcular o valor da integral definida:
[ -2 x^-1/2 ]0^2 = -2 (2^-1/2) - lima to 0^+ (-2 a^-1/2)
Simplificando:
-2 ( 1raiz2 ) + 2 ( 1raiza )

Passo 6

Agora, observamos o comportamento quando lima to 0^+ 1raiza = +infty se aproxima de 0:
-2 ( 1raiz2 ) + 2 cdot infty = infty
Portanto, a expressão se torna:

Resposta

A integral diverge.

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