Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
y^2 * y' = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . O conteúdo aqui é equações diferenciais, e a técnica que vamos usar é a separação de variáveis. Para resolver isso, vamos reorganizar a equação para que todas as fiquem de um lado e todas as fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação inicial é:
Podemos dividir ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Multiplicando ambos os lados por e por , temos:
Assim, todas as estão de um lado e todas as do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de é:
E a integral de é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Como e são constantes, podemos combiná-las em uma única constante . Então, igualando as integrais, temos:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 6 para eliminar os denominadores:
Podemos redefinir como apenas , então:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
a d y/d x = x^4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty e^-n n !
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (-1)^n^-1 x^nn^3
Resolva o problema de valor inicial: y^(4) - y = delta(t), y(0) = y'(0) = y''(0) = y^(3)(0) = 0