Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais, e a técnica que vamos usar é a separação de variáveis. Para resolver isso, vamos reorganizar a equação para que todas as
fiquem de um lado e todas as
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação inicial é:
Podemos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Assim, todas as
estão de um lado e todas as
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de
é:
E a integral de
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Como
e
são constantes, podemos combiná-las em uma única constante
. Então, igualando as integrais, temos:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 6 para eliminar os denominadores:
Podemos redefinir
como apenas
, então:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
!
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Resolva o problema de valor inicial: