Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, especificamente sobre a convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é bem útil para esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
  • Absolutamente convergente: Se a série dos valores absolutos converge.
  • Condicionalmente convergente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: Se a série original não converge.
Então, vamos começar analisando a série dos valores absolutos: .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos valores absolutos. O teste diz que, para uma série , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Então, vamos calcular esse limite para .

Passo 4

Calculando :
Simplificando:

Passo 5

Agora, sabendo que , temos:
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, sabemos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, precisamos verificar se ela é condicionalmente convergente ou simplesmente divergente.
Vamos analisar a série original .
Observando o termo geral , vemos que o valor absoluto está crescendo muito rápido devido ao no numerador e a no denominador. Isso sugere que os termos não estão tendendo a zero, um requisito básico para a convergência de uma série.

Passo 7

De fato, para qualquer série convergir, é necessário que . Vamos verificar isso:
Como cresce exponencialmente e também, mas de fato , comparando as taxas de crescimento:
À medida que cresce, também cresce sem limite, então . Portanto:
Isso significa que:
ã

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Determine as funçöes parte real e parte imagınarıa das seguintes funções cor complexa:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Fatore as expressões a seguir:
Verifique se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas se são abertos ou fechados, conexos ou não conexos: