Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, especificamente sobre a convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é bem útil para esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Absolutamente convergente: Se a série dos valores absolutos converge.
Condicionalmente convergente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: Se a série original não converge.
Então, vamos começar analisando a série dos valores absolutos: .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos valores absolutos. O teste diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Então, vamos calcular esse limite para .
Passo 4
Calculando :
Simplificando:
Passo 5
Agora, sabendo que , temos:
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, sabemos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, precisamos verificar se ela é condicionalmente convergente ou simplesmente divergente.
Vamos analisar a série original .
Observando o termo geral , vemos que o valor absoluto está crescendo muito rápido devido ao no numerador e a no denominador. Isso sugere que os termos não estão tendendo a zero, um requisito básico para a convergência de uma série.
Passo 7
De fato, para qualquer série convergir, é necessário que . Vamos verificar isso:
Como cresce exponencialmente e também, mas de fato , comparando as taxas de crescimento:
À medida que cresce, também cresce sem limite, então . Portanto: