Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
Aqui, reescrevemos como , simplificando a expressão.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo . Sabemos que , então tende a zero conforme aumenta. Isso nos indica que a série pode ser convergente.

Passo 4

Para confirmar a convergência da série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular e :
Agora, calculamos a razão :

Passo 6

Simplificando a expressão da razão:
Então:

Passo 7

Calculando o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Mostre que não existe o limite .
Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Determine as funçöes parte real e parte imagınarıa das seguintes funções cor complexa:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.