Verifique se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas se são abertos ou fechados, conexos ou não conexos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto dos números complexos que satisfazem é aberto ou fechado, e se ele é conexo ou não conexo. Para isso, vamos precisar entender o que são conjuntos abertos e fechados, além de conexos na matemática, especialmente no contexto dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre conjuntos abertos e fechados. Um conjunto é aberto se, para cada ponto nele, podemos encontrar uma “vizinhança” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Já um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite, ou seja, se você pegar uma sequência de pontos dentro do conjunto que converge para algum ponto, esse ponto limite também está no conjunto.
No nosso caso, representa todos os números complexos cuja distância do ponto zero no plano complexo é menor que 2. Isso forma um disco aberto de raio 2 no plano complexo.

Passo 3

Vamos verificar se é aberto. Pegue qualquer ponto dentro desse conjunto. Como , podemos sempre encontrar uma pequena distância ao redor de que ainda mantém todos os pontos dentro de . Ou seja, não tocamos a borda . Portanto, o conjunto é aberto.

Passo 4

Agora, vamos ver se é fechado. Para ser fechado, o conjunto teria que incluir todos os seus pontos de fronteira, que no caso são os pontos onde . Mas no nosso conjunto, esses pontos não estão incluídos porque a desigualdade é estrita ( ). Então, o conjunto não é fechado.

Passo 5

Por fim, vamos analisar se o conjunto é conexo ou não. Um conjunto é conexo se qualquer dois pontos nele podem ser unidos por um caminho que também está totalmente dentro do conjunto. Como forma um disco contínuo sem buracos, dá para ir de qualquer ponto a qualquer outro sem sair do conjunto. Portanto, o conjunto é conexo.

Resposta

O conjunto é aberto, não fechado e conexo.

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Fatore as expressões a seguir:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Resolva as equações: