Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a , ou seja, . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para a função , vamos usar a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Então, a derivada da função é .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto pelo qual ela passa , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Finalmente, vamos deixar a equação na forma explícita:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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