Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a , ou seja, . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Para a função , vamos usar a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Então, a derivada da função é .
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto pelo qual ela passa , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, vamos deixar a equação na forma explícita: