Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui estamos lidando com séries alternadas e vamos usar alguns testes de convergência para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.
  • Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: Se a série original não converge.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:

Passo 4

Agora, precisamos determinar se essa série converge. Vamos simplificar os termos:
Para grandes valores de , , então podemos aproximar:

Passo 5

A série é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como , essa série diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda pode ser condicionalmente convergente.

Passo 7

Para verificar a convergência condicional, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.

Passo 8

Vamos verificar essas condições:
  1. Positivos: Claramente, para todo .
  2. Decrescentes: Observamos que conforme aumenta, diminui.
  3. Tendem a zero:

Passo 9

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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