Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui estamos lidando com séries alternadas e vamos usar alguns testes de convergência para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.
Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: Se a série original não converge.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Agora, precisamos determinar se essa série converge. Vamos simplificar os termos:
Para grandes valores de , , então podemos aproximar:
Passo 5
A série é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como , essa série diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda pode ser condicionalmente convergente.
Passo 7
Para verificar a convergência condicional, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.
Passo 8
Vamos verificar essas condições:
Positivos: Claramente, para todo .
Decrescentes: Observamos que conforme aumenta, diminui.
Tendem a zero:
Passo 9
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série converge condicionalmente.