Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n-1 2^nn^4

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos analisar a série sumn=1^infty(-1)^n-1 2^nn^4. O que precisamos entender aqui é se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar testes de convergência. A matéria aqui é sobre séries infinitas e a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional. Para começarmos, precisamos examinar a série sem o fator (-1)^n-1, que é o que chamamos de série “positiva” associada: sumn=1^infty 2^nn^4.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a série positiva sumn=1^infty 2^nn^4. Para isso, podemos usar o teste da razão, que é bem útil para séries que envolvem exponenciais e fatoriais. O teste da razão diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, não podemos concluir nada.
Nesse caso, nossos termos an = 2^nn^4. Vamos calcular:
an+1 = 2^n+1(n+1)^4
Agora, montando o limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 2^n+1(n+1)^4 cdot n^42^n
Simplificando isso, temos:
L = limn to infty 2 cdot n^4(n+1)^4
Agora, vamos analisar o limite:
L = limn to infty 2 cdot n^4(n+1)^4 = limn to infty 2 cdot n^4n^4(1+1n)^4 = limn to infty 2(1+1n)^4
Quando n tende ao infinito, 1+1n to 1, logo:
L = 21^4 = 2
Como L > 1, a série sumn=1^infty 2^nn^4 é divergente.

Passo 3

Agora que sabemos que a série positiva diverge, vamos analisar a série original. A série original tem um fator (-1)^n-1, o que é interessante porque isso indica que é uma série alternada. Vamos aplicar o teste da série alternada, que diz que uma série da forma sum (-1)^n-1 bn converge se bn for positivo, decrescente e bn to 0 conforme n to infty.
Aqui, temos bn = 2^nn^4. Precisamos verificar se bn é positivo, decrescente e se tende a zero:
  1. Positivo: Claro, pois 2^n > 0 e n^4 > 0 para n >= 1.
  2. Decrescente: Para mostrar que bn é decrescente, precisamos olhar para bn+1 e bn:
bn+1 = 2^n+1(n+1)^4 = 2 cdot 2^n(n+1)^4
Agora vamos comparar bn e bn+1:
bn+1bn = 2 cdot 2^n(n+1)^42^nn^4 = 2 cdot n^4(n+1)^4
Já sabemos que isso tende a 2 quando n vai para infty, logo não podemos concluir que b_n é decrescente. Na verdade, essa comparação não é suficiente; temos que olhar mais de perto.
  1. Tende a zero: Finalmente, podemos ver que $ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2{n}}{n{4}}$. Este limite não tende a zero de fato, pois a parte exponencial limn to infty bn = limn to infty 2^nn^4 cresce muito mais rápido que 2^n.
Então, como a série positiva diverge e a série alternada não atende ao critério de convergência, podemos concluir que a série original é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 2^nn^4 é divergente.

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