Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Para resolver essa questão, vamos analisar a série . O que precisamos entender aqui é se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar testes de convergência. A matéria aqui é sobre séries infinitas e a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional. Para começarmos, precisamos examinar a série sem o fator , que é o que chamamos de série “positiva” associada: .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a série positiva . Para isso, podemos usar o teste da razão, que é bem útil para séries que envolvem exponenciais e fatoriais. O teste da razão diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; se , não podemos concluir nada.
Nesse caso, nossos termos . Vamos calcular:
Agora, montando o limite:
Simplificando isso, temos:
Agora, vamos analisar o limite:
Quando tende ao infinito, , logo:
Como , a série é divergente.
Passo 3
Agora que sabemos que a série positiva diverge, vamos analisar a série original. A série original tem um fator , o que é interessante porque isso indica que é uma série alternada. Vamos aplicar o teste da série alternada, que diz que uma série da forma converge se for positivo, decrescente e conforme .
Aqui, temos . Precisamos verificar se é positivo, decrescente e se tende a zero:
Positivo: Claro, pois e para .
Decrescente: Para mostrar que é decrescente, precisamos olhar para e :
Agora vamos comparar e :
Já sabemos que isso tende a 2 quando vai para , logo não podemos concluir que b_n é decrescente. Na verdade, essa comparação não é suficiente; temos que olhar mais de perto.
Tende a zero: Finalmente, podemos ver que $ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2{n}}{n{4}}$. Este limite não tende a zero de fato, pois a parte exponencial cresce muito mais rápido que .
Então, como a série positiva diverge e a série alternada não atende ao critério de convergência, podemos concluir que a série original é divergente.