Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n (1,1)^nn^4

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty(-1)^n (1,1)^nn^4. O conteúdo que estamos lidando aqui é a análise de séries, mais especificamente sobre a convergência de séries. Para resolver esse exercício, precisamos usar algumas ferramentas da teoria de séries. Como essa série tem termos alternados (o (-1)^n), vamos verificar se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se é divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, precisamos considerar a série dos valores absolutos dos termos, ou seja, sumn=1^infty |(-1)^n (1,1)^nn^4| = sumn=1^infty (1,1)^nn^4. Agora, vamos simplificar o termo (1,1)^n. Aqui parece que houve um pequeno erro de digitação, pois (1,1)^n não parece ser uma notação padrão. Supondo que o termo correto seja 1^n (que é igual a 1), então a série se torna sumn=1^infty 1n^4.
Essa é uma série p, onde p = 4. Lembrando que uma série p converge para p > 1. Como 4 > 1, a série sumn=1^infty 1n^4 converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos sumn=1^infty 1n^4 convergiu, então a nossa série original sumn=1^infty(-1)^n (1,1)^nn^4 também é absolutamente convergente.

Resposta

Portanto, a série é absolutamente convergente.

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