Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar a série . O conteúdo que estamos lidando aqui é a análise de séries, mais especificamente sobre a convergência de séries. Para resolver esse exercício, precisamos usar algumas ferramentas da teoria de séries. Como essa série tem termos alternados (o ), vamos verificar se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se é divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, precisamos considerar a série dos valores absolutos dos termos, ou seja, . Agora, vamos simplificar o termo (1,1)^n. Aqui parece que houve um pequeno erro de digitação, pois (1,1)^n não parece ser uma notação padrão. Supondo que o termo correto seja 1^n (que é igual a 1), então a série se torna sumn=1^infty 1n^4.
Essa é uma série p, onde p = 4. Lembrando que uma série p converge para p > 1. Como 4 > 1, a série sumn=1^infty 1n^4 converge.
Passo 3
Como a série dos valores absolutos sumn=1^infty 1n^4 convergiu, então a nossa série original sumn=1^infty(-1)^n (1,1)^nn^4 também é absolutamente convergente.