Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos entender o enunciado da questão. Temos que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
. O conteúdo que estamos lidando aqui é séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, a ideia é calcular o limite da razão entre os termos da série quando
tende ao infinito. Vamos definir o termo geral da nossa série como
. Agora, precisamos encontrar a razão entre os termos
e
:
Agora, vamos calcular a razão:
Isso vai ficar assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como
, temos:
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
Isso nos dá um limite superior. Para o limite inferior, podemos considerar que a série vai convergir até um ponto simétrico. Assim, temos:
Então, o intervalo de convergência é
.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.