Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty x^nn 3^n

Passo 1

Vamos entender o enunciado da questão. Temos que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty x^nn 3^n. O conteúdo que estamos lidando aqui é séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, a ideia é calcular o limite da razão entre os termos da série quando n tende ao infinito. Vamos definir o termo geral da nossa série como an = x^nn 3^n. Agora, precisamos encontrar a razão entre os termos an+1 e an:
an+1 = x^n+1(n+1) 3^n+1
Agora, vamos calcular a razão:
an+1an = x^n+1(n+1) 3^n+1x^nn 3^n
Isso vai ficar assim:
an+1an = x^n+1(n+1) 3^n+1 cdot n 3^nx^n = x3 cdot nn+1

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de an+1an quando n tende ao infinito:
limn to infty an+1an = limn to infty (x3 cdot nn+1) = x3 cdot limn to infty nn+1
Como limn to infty nn+1 = 1, temos:
limn to infty an+1an = x3
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1. Então, temos:
x3 < 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
x < 3
Isso nos dá um limite superior. Para o limite inferior, podemos considerar que a série vai convergir até um ponto simétrico. Assim, temos:
-x < 3 implies x > -3
Então, o intervalo de convergência é (-3, 3).

Resposta

O raio de convergência é R = 3 e o intervalo de convergência é (-3, 3).

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