Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Vamos entender o enunciado da questão. Temos que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo que estamos lidando aqui é séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, a ideia é calcular o limite da razão entre os termos da série quando tende ao infinito. Vamos definir o termo geral da nossa série como . Agora, precisamos encontrar a razão entre os termos e :
Agora, vamos calcular a razão:
Isso vai ficar assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como , temos:
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
Isso nos dá um limite superior. Para o limite inferior, podemos considerar que a série vai convergir até um ponto simétrico. Assim, temos:
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Um cavalo tem de altura e está parado a de uma lente cuja distância focal é .
(a) Determine a localização da imagem do nariz do cavalo.
(b) Qual a altura da imagem?
© Caracterize a imagem.
R: (a) ; (b) ; © Imagem real , invertida e reduzida
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Um espelho do lado do passageiro de um carro é convexo e possui raio de curvatura cujo valor absoluto é .
(a) Outro carro é visto nesse espelho e está a uma distância de 9,0 m atrás do espelho. Se a altura desse carro é , qual é a altura da imagem?
(b) O espelho contém uma frase alertando que os objetos nele vistos estão mais próximos do que parecem. Por que isso ocorre?
R: (a) .
Uma lente forma a imagem de um objeto. A distância entre o objeto e o vértice da lente é . A imagem se forma a do vértice e do mesmo lado onde se encontra o objeto.
(a) Qual é a distância focal da lente? A lente é convergente ou divergente?
(b) Se o objeto possui uma altura de , qual é a altura da imagem? A imagem é direita ou invertida?
© Faça um diagrama dos raios principais.
R: (a) , divergente;
(b) , direita.