Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (-1)^nn^4

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que analisar a série sumn=1^infty (-1)^nn^4 e descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o conceito de convergência de séries e algumas análises.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é cada tipo de convergência.
  • Convergência Absoluta: uma série é dita absolutamente convergente se a série formada pelos módulos dos termos também converge, ou seja, sumn=1^infty | (-1)^nn^4 | = sumn=1^infty 1n^4 converge.
  • Convergência Condicional: uma série é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos módulos não converge.
  • Divergência: a série não converge.
Agora, vamos começar pela convergência absoluta. Para isso, calculamos a série sumn=1^infty 1n^4.

Passo 3

A série sumn=1^infty 1n^4 é uma série p, onde p = 4. Séries do tipo sumn=1^infty 1n^p convergem se p > 1. Como estamos com p = 4, que é maior que 1, então a série sumn=1^infty 1n^4 converge.

Passo 4

Como a série dos módulos sumn=1^infty | (-1)^nn^4 | convergiu, podemos afirmar que a série original sumn=1^infty (-1)^nn^4 é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^nn^4 é absolutamente convergente.

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