Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.]
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor da função
centrada no ponto
. Para entender isso, a série de Taylor é basicamente uma maneira de expressar uma função como uma soma de termos baseados nas suas derivadas. Para este exercício, vamos precisar das derivadas de
e da fórmula da série de Taylor.
Passo 2
A fórmula da série de Taylor é dada por:
Onde
representa a enésima derivada da função
avaliada em
. No nosso caso, como
, todas as derivadas de
são iguais a
. Portanto, avaliando em
, temos que
para qualquer
.
Passo 3
Agora, substituímos na fórmula:
Colocando
em evidência, isso fica:
O que está dentro dos parênteses é a série de Taylor para
centrada em
(ou seja,
).
Resposta
Portanto, a série de Taylor de
centrada em
é:
Exercícios relacionados
Duas lentes delgadas, com uma distância focal de módulo
, sendo a primeira divergente e a segunda convergente, estão separadas por uma distância de
. Um objeto de
de altura é colocado
à esquerda da primeira lente (divergente).
(a) A que distância dessa primeira lente a imagem final é formada?
(b) A imagem final é real ou virtual?
© Qual é a altura da imagem final? Ela é direita ou invertida?
R: (a) (b) Imagem real; ©
.
(a) A que distância dessa primeira lente a imagem final é formada?
(b) A imagem final é real ou virtual?
© Qual é a altura da imagem final? Ela é direita ou invertida?
R: (a)
Uma lente forma a imagem de um objeto. A distância entre o objeto e o vértice da lente é
. A imagem se forma a
do vértice e do mesmo lado onde se encontra o objeto.
(a) Qual é a distância focal da lente? A lente é convergente ou divergente?
(b) Se o objeto possui uma altura de , qual é a altura da imagem? A imagem é direita ou invertida?
© Faça um diagrama dos raios principais.
R: (a) , divergente;
(b) , direita.
(a) Qual é a distância focal da lente? A lente é convergente ou divergente?
(b) Se o objeto possui uma altura de
© Faça um diagrama dos raios principais.
R: (a)
(b)
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.