Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] f(x)=e^x, a=3

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor da função f(x) = e^x centrada no ponto a = 3. Para entender isso, a série de Taylor é basicamente uma maneira de expressar uma função como uma soma de termos baseados nas suas derivadas. Para este exercício, vamos precisar das derivadas de f(x) e da fórmula da série de Taylor.

Passo 2

A fórmula da série de Taylor é dada por:
Tn(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + + f^(n)(a)n!(x - a)^n
Onde f^(n)(a) representa a enésima derivada da função f(x) avaliada em a. No nosso caso, como f(x) = e^x, todas as derivadas de f são iguais a e^x. Portanto, avaliando em x = 3, temos que f^(n)(3) = e^3 para qualquer n.

Passo 3

Agora, substituímos na fórmula:
Tn(x) = e^3 + e^3(x - 3) + e^32!(x - 3)^2 + e^33!(x - 3)^3 + + e^3n!(x - 3)^n
Colocando e^3 em evidência, isso fica:
Tn(x) = e^3 ( 1 + (x - 3) + (x - 3)^22! + (x - 3)^33! + + (x - 3)^nn! )
O que está dentro dos parênteses é a série de Taylor para e^x centrada em 0 (ou seja, e^x - 3).

Resposta

Portanto, a série de Taylor de f(x) = e^x centrada em a = 3 é:
Tn(x) = e^3 ( 1 + (x - 3) + (x - 3)^22! + (x - 3)^33! + + (x - 3)^nn! )

Exercícios relacionados