Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.]
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor da função
centrada no ponto
. Para entender isso, a série de Taylor é basicamente uma maneira de expressar uma função como uma soma de termos baseados nas suas derivadas. Para este exercício, vamos precisar das derivadas de
e da fórmula da série de Taylor.
Passo 2
A fórmula da série de Taylor é dada por:
Onde
representa a enésima derivada da função
avaliada em
. No nosso caso, como
, todas as derivadas de
são iguais a
. Portanto, avaliando em
, temos que
para qualquer
.
Passo 3
Agora, substituímos na fórmula:
Colocando
em evidência, isso fica:
O que está dentro dos parênteses é a série de Taylor para
centrada em
(ou seja,
).
Resposta
Portanto, a série de Taylor de
centrada em
é: