Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de a. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .]

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor da função centrada no ponto . Para entender isso, a série de Taylor é basicamente uma maneira de expressar uma função como uma soma de termos baseados nas suas derivadas. Para este exercício, vamos precisar das derivadas de e da fórmula da série de Taylor.

Passo 2

A fórmula da série de Taylor é dada por:
Onde representa a enésima derivada da função avaliada em . No nosso caso, como , todas as derivadas de são iguais a . Portanto, avaliando em , temos que para qualquer .

Passo 3

Agora, substituímos na fórmula:
Colocando em evidência, isso fica:
O que está dentro dos parênteses é a série de Taylor para centrada em (ou seja, ).

Resposta

Portanto, a série de Taylor de centrada em é:

Exercícios relacionados

Duas lentes delgadas, com uma distância focal de módulo , sendo a primeira divergente e a segunda convergente, estão separadas por uma distância de . Um objeto de de altura é colocado à esquerda da primeira lente (divergente).
(a) A que distância dessa primeira lente a imagem final é formada?
(b) A imagem final é real ou virtual?
© Qual é a altura da imagem final? Ela é direita ou invertida?
R: (a) (b) Imagem real; © .
Uma lente forma a imagem de um objeto. A distância entre o objeto e o vértice da lente é . A imagem se forma a do vértice e do mesmo lado onde se encontra o objeto.
(a) Qual é a distância focal da lente? A lente é convergente ou divergente?
(b) Se o objeto possui uma altura de , qual é a altura da imagem? A imagem é direita ou invertida?
© Faça um diagrama dos raios principais.
R: (a) , divergente;
(b) , direita.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.