Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o seguinte exercício: encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Essa série é uma série de potências, e o conteúdo que precisamos entender aqui é o conceito de raio de convergência de uma série. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Então, começando com o teste da razão, que é basicamente uma maneira de ver se a série converge ou não. A fórmula que usamos aqui é:
onde . Vamos calcular :
Agora, substituindo esses valores na fórmula do teste da razão, ficamos com:
Simplificando isso, fica:
Os fatores se cancelam, e a gente ainda tem que simplificar e :
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito. Para que a série converja, precisamos que a razão que encontramos seja menor que 1:
Isso acontece quando é grande o suficiente para fazer a parte de cima crescer mais devagar. Portanto, quando multiply o denominador com , a série vai convergir se:
O que implica que o raio de convergência . Isso significa que não importa qual valor de a gente escolha, a série vai sempre convergir.
Resposta
Agora que sabemos que o raio de convergência , isso indica que a série converge para todo . Portanto, o intervalo de convergência é .