Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o seguinte exercício: encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Essa série é uma série de potências, e o conteúdo que precisamos entender aqui é o conceito de raio de convergência de uma série. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Então, começando com o teste da razão, que é basicamente uma maneira de ver se a série converge ou não. A fórmula que usamos aqui é:
onde an = x^nn!. Vamos calcular an+1:
an+1 = x^n+1(n+1)!
Agora, substituindo esses valores na fórmula do teste da razão, ficamos com:
R = limn to infty | x^nn!x^n+1(n+1)! |
Simplificando isso, fica:
R = limn to infty | x^n cdot (n+1)!x^n+1 cdot n! |
Os fatores n! se cancelam, e a gente ainda tem que simplificar x^n e x^n+1:
R = limn to infty | (n+1)x |
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando n tende ao infinito. Para que a série converja, precisamos que a razão que encontramos seja menor que 1:
limn to infty (n+1)|x| < 1
Isso acontece quando |x| é grande o suficiente para fazer a parte de cima crescer mais devagar. Portanto, quando multiply o denominador com |x|, a série vai convergir se:
|x| > 0
O que implica que o raio de convergência R = infty. Isso significa que não importa qual valor de x a gente escolha, a série vai sempre convergir.
Resposta
Agora que sabemos que o raio de convergência R = infty, isso indica que a série converge para todo x. Portanto, o intervalo de convergência é (-infty, +infty).