Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos analisar a série
. O conteúdo que estamos mexendo aqui é sobre séries infinitas, com foco na convergência ou divergência delas. Para resolver esse problema, a gente vai usar o critério de Leibniz, que é bem útil para séries alternadas como essa.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa identificar a forma da série. Nela, temos o termo geral como
. A série é alternada por causa do
, que faz o sinal dos termos alternar entre positivo e negativo.
Agora, para usar o critério de Leibniz, precisamos checar duas condições:
- Os termos
devem ser descrescentes (ou seja, para todo suficientemente grande). - O limite de
deve se aproximar de zero quando tende ao infinito. Ou seja, .
Passo 3
Vamos avaliar a primeira condição: se
é decrescente. Para isso, vamos verificar:
Para mostrar que
, vamos ver se
. Isso é verdade porque a função logaritmo é crescente. Assim, como denominador de
aumenta,
de fato é decrescente. Então, a primeira condição está satisfeita!
Passo 4
Agora, vamos checar a segunda condição, o limite de
:
À medida que
cresce,
também cresce e tende a infinito. Logo,
Portanto, essa condição também está satisfeita!
Resposta
Como ambas as condições do critério de Leibniz foram atendidas, podemos concluir que a série
é convergente.
Exercícios relacionados
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.]
Duas lentes delgadas, com uma distância focal de módulo
, sendo a primeira divergente e a segunda convergente, estão separadas por uma distância de
. Um objeto de
de altura é colocado
à esquerda da primeira lente (divergente).
(a) A que distância dessa primeira lente a imagem final é formada?
(b) A imagem final é real ou virtual?
© Qual é a altura da imagem final? Ela é direita ou invertida?
R: (a) (b) Imagem real; ©
.
(a) A que distância dessa primeira lente a imagem final é formada?
(b) A imagem final é real ou virtual?
© Qual é a altura da imagem final? Ela é direita ou invertida?
R: (a)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.