Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty (-1)^n-1ln (n+4)

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty (-1)^n-1ln (n+4). O conteúdo que estamos mexendo aqui é sobre séries infinitas, com foco na convergência ou divergência delas. Para resolver esse problema, a gente vai usar o critério de Leibniz, que é bem útil para séries alternadas como essa.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa identificar a forma da série. Nela, temos o termo geral como an = (-1)^n-1ln (n+4). A série é alternada por causa do (-1)^n-1, que faz o sinal dos termos alternar entre positivo e negativo.
Agora, para usar o critério de Leibniz, precisamos checar duas condições:
  1. Os termos bn = 1ln(n+4) devem ser descrescentes (ou seja, bn+1 < bn para todo n suficientemente grande).
  2. O limite de bn deve se aproximar de zero quando n tende ao infinito. Ou seja, limn to infty bn = 0.

Passo 3

Vamos avaliar a primeira condição: se bn é decrescente. Para isso, vamos verificar:
bn = 1ln(n+4)
bn+1 = 1ln(n+5)
Para mostrar que bn+1 < bn, vamos ver se ln(n+5) > ln(n+4). Isso é verdade porque a função logaritmo é crescente. Assim, como denominador de bn aumenta, bn de fato é decrescente. Então, a primeira condição está satisfeita!

Passo 4

Agora, vamos checar a segunda condição, o limite de bn:
limn to infty bn = limn to infty 1ln(n+4)
À medida que n cresce, ln(n+4) também cresce e tende a infinito. Logo,
1ln(n+4) to 0
Portanto, essa condição também está satisfeita!

Resposta

Como ambas as condições do critério de Leibniz foram atendidas, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n-1ln (n+4) é convergente.

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