Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos analisar a série . O conteúdo que estamos mexendo aqui é sobre séries infinitas, com foco na convergência ou divergência delas. Para resolver esse problema, a gente vai usar o critério de Leibniz, que é bem útil para séries alternadas como essa.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa identificar a forma da série. Nela, temos o termo geral como . A série é alternada por causa do , que faz o sinal dos termos alternar entre positivo e negativo.
Agora, para usar o critério de Leibniz, precisamos checar duas condições:
  1. Os termos devem ser descrescentes (ou seja, para todo suficientemente grande).
  2. O limite de deve se aproximar de zero quando tende ao infinito. Ou seja, .

Passo 3

Vamos avaliar a primeira condição: se é decrescente. Para isso, vamos verificar:
Para mostrar que , vamos ver se . Isso é verdade porque a função logaritmo é crescente. Assim, como denominador de aumenta, de fato é decrescente. Então, a primeira condição está satisfeita!

Passo 4

Agora, vamos checar a segunda condição, o limite de :
À medida que cresce, também cresce e tende a infinito. Logo,
Portanto, essa condição também está satisfeita!

Resposta

Como ambas as condições do critério de Leibniz foram atendidas, podemos concluir que a série é convergente.

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© Qual é a altura da imagem final? Ela é direita ou invertida?
R: (a) (b) Imagem real; © .
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.