Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
A questão pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Esse tipo de problema envolve o estudo de séries de potências, e o conteúdo principal aqui é a determinação do raio de convergência utilizando o teste da raiz ou o teste da razão. Para isso, vamos precisar da fórmula do raio de convergência, que é dada por , onde é o termo geral da série.
Passo 2
Nosso termo geral aqui é . Agora, precisamos aplicar o teste da razão. Para isso, vamos calcular o limite:
Substituindo e , temos:
Agora, substituindo na fórmula do limite:
Agora, precisamos calcular o limite quando tende a infinito:
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge quando o limite é menor que 1:
Isso nos dá o raio de convergência . Agora, para encontrar o intervalo de convergência, precisamos testar os extremos e .
Primeiro, testando :
Essa série diverge, pois a soma das raízes quadradas tende ao infinito.
Agora, testando :
Essa série também diverge, pois o termo não se anula como cresce, e a série não alterna de forma a convergir.
Resposta
Portanto, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é .