Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty raizn x^n

Passo 1

A questão pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty raizn x^n. Esse tipo de problema envolve o estudo de séries de potências, e o conteúdo principal aqui é a determinação do raio de convergência utilizando o teste da raiz ou o teste da razão. Para isso, vamos precisar da fórmula do raio de convergência, que é dada por R = 1limsupn to infty |an|^1/n, onde an é o termo geral da série.

Passo 2

Nosso termo geral aqui é an = raizn x^n. Agora, precisamos aplicar o teste da razão. Para isso, vamos calcular o limite:
limn to infty | an+1an |
Substituindo an e an+1, temos:
an+1 = raizn+1 x^n+1 e an = raizn x^n
Agora, substituindo na fórmula do limite:
| an+1an | = | raizn+1 x^n+1raizn x^n | = | raizn+1raizn x | = | x | cdot raizn+1n = | x | cdot raiz1 + 1n
Agora, precisamos calcular o limite quando n tende a infinito:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | x | cdot raiz1 + 1n = | x | cdot 1 = | x |

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge quando o limite é menor que 1:
| x | < 1
Isso nos dá o raio de convergência R = 1. Agora, para encontrar o intervalo de convergência, precisamos testar os extremos x = -1 e x = 1.
Primeiro, testando x = 1:
sumn=1^infty raizn (1)^n = sumn=1^infty raizn
Essa série diverge, pois a soma das raízes quadradas tende ao infinito.
Agora, testando x = -1:
sumn=1^infty raizn (-1)^n
Essa série também diverge, pois o termo raizn não se anula como n cresce, e a série não alterna de forma a convergir.

Resposta

Portanto, o intervalo de convergência é (-1, 1) e o raio de convergência é R = 1.

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