Determine se a série alternada é convergente ou divergente sumn=1^infty(-1)^n+1 43 n-2

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente precisa determinar se a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1 43 n-2 converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é um método da Matemática para verificar a convergência de séries que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte que não envolve o sinal alternado na série. Aqui, temos an = 43n - 2. Esse an é sempre positivo e diminui conforme n aumenta, já que o denominador fica maior.

Passo 3

Agora, vamos verificar duas coisas importantes para aplicar o Teste da Série Alternada:
  1. Limite de an quando n tende ao infinito:
    Calculando limn to infty 43n - 2, vemos que o denominador cresce sem limite, então o limite é 0.
    limn to infty 43n - 2 = 0
  2. Sequência decrescente:
    Precisamos ver se an está diminuindo. Como 3n - 2 aumenta à medida que n aumenta, o valor de 43n - 2 diminui. Portanto, an+1 < an para todo n.

Passo 4

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (o limite de an é 0 e an é decrescente), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1 43 n-2 é convergente.

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