Determine se a série alternada é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente precisa determinar se a série alternada
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é um método da Matemática para verificar a convergência de séries que alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte que não envolve o sinal alternado na série. Aqui, temos
. Esse
é sempre positivo e diminui conforme
aumenta, já que o denominador fica maior.
Passo 3
Agora, vamos verificar duas coisas importantes para aplicar o Teste da Série Alternada:
-
Limite de
quando tende ao infinito: Calculando, vemos que o denominador cresce sem limite, então o limite é 0. -
Sequência decrescente:Precisamos ver se
está diminuindo. Como aumenta à medida que aumenta, o valor de diminui. Portanto, para todo .
Passo 4
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (o limite de
é 0 e
é decrescente), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série alternada
é convergente.