Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximos e mínimos da função
que está sujeita à restrição
. Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para otimizar funções com algumas restrições. Precisamos lembrar de como montar o Lagrangiano e resolver as equações que ele gera.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o Lagrangiano. Ele combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador (
). A fórmula fica assim:
Passo 3
Agora, vamos tirar as derivadas parciais do Lagrangiano em relação a
,
e
e igualar a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar uma relação entre
e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Dividindo as duas, temos:
Simplificando, chegamos a:
Passo 5
Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na restrição:
Então,
Calculando
:
Caso 2:
Substituindo na restrição:
Então,
Calculando
:
Resposta
O valor máximo da função é
e o valor mínimo é
.