Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f(x, y) = x * y ; 5 * x^2 + 5 * y^2 + 6 * x * y - 64 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximos e mínimos da função que está sujeita à restrição . Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para otimizar funções com algumas restrições. Precisamos lembrar de como montar o Lagrangiano e resolver as equações que ele gera.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o Lagrangiano. Ele combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador ( ). A fórmula fica assim:

Passo 3

Agora, vamos tirar as derivadas parciais do Lagrangiano em relação a , e e igualar a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar uma relação entre e .
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Dividindo as duas, temos:
Simplificando, chegamos a:

Passo 5

Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na restrição:
Então,
Calculando :
Caso 2:
Substituindo na restrição:
Então,
Calculando :

Resposta

O valor máximo da função é e o valor mínimo é .

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