Seja r: I -> R^2 uma curva, dada por r(x) = <x, ln x>. Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x -> infinito ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por e precisa descobrir em que ponto essa curva tem a curvatura máxima. Além disso, queremos saber o que acontece com a curvatura quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre curvas no plano e suas curvaturas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a curvatura de uma curva no plano. A curvatura, denotada por , mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto. Para uma curva parametrizada por , a fórmula da curvatura é:
Onde e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.

Passo 3

Vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de e . Aqui, e .
Primeiras derivadas:
Segundas derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da curvatura:

Passo 5

Para simplificar a expressão da curvatura, podemos multiplicar numerador e denominador por :
Agora, temos uma expressão mais simples para a curvatura:

Passo 6

Para encontrar o ponto onde a curvatura é máxima, precisamos maximizar em relação a . Vamos derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente:

Passo 7

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:
Mas, como está definido para , descartamos a solução negativa. Portanto, o ponto crítico é .

Passo 8

Para confirmar que esse ponto é de máximo, podemos verificar o sinal da segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto. Sem entrar em detalhes complicados, observamos que para , e para , . Isso indica que a curvatura atinge um máximo em .

Passo 9

Por fim, vamos analisar o que acontece com a curvatura quando :
Ou seja, conforme fica muito grande, a curvatura da curva tende a zero.

Resposta

A curva tem a curvatura máxima no ponto onde . Além disso, quando tende ao infinito, a curvatura da curva se aproxima de zero.

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