Seja uma curva, dada por . Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por e precisa descobrir em que ponto essa curva tem a curvatura máxima. Além disso, queremos saber o que acontece com a curvatura quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre curvas no plano e suas curvaturas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a curvatura de uma curva no plano. A curvatura, denotada por , mede o quanto a curva está “curvando” em cada ponto. Para uma curva parametrizada por , a fórmula da curvatura é:
Onde e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.
Passo 3
Vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de e . Aqui, e .
Primeiras derivadas:
Segundas derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da curvatura:
Passo 5
Para simplificar a expressão da curvatura, podemos multiplicar numerador e denominador por :
Agora, temos uma expressão mais simples para a curvatura:
Passo 6
Para encontrar o ponto onde a curvatura é máxima, precisamos maximizar em relação a . Vamos derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente:
Passo 7
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:
Mas, como está definido para , descartamos a solução negativa. Portanto, o ponto crítico é .
Passo 8
Para confirmar que esse ponto é de máximo, podemos verificar o sinal da segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto. Sem entrar em detalhes complicados, observamos que para , e para , . Isso indica que a curvatura atinge um máximo em .
Passo 9
Por fim, vamos analisar o que acontece com a curvatura quando :
Ou seja, conforme fica muito grande, a curvatura da curva tende a zero.
Resposta
A curva tem a curvatura máxima no ponto onde . Além disso, quando tende ao infinito, a curvatura da curva se aproxima de zero.