Seja gamma a curva de interseção dos cilindros x^2+z^2=16 e y^2+z^2=16 entre os pontos A=(2,2,2 raiz3) e B=(2 raiz3, 2 raiz3, 2) e seja F(x, y, z)=(x^2+z^2, x^2+y^2, y^2+z^2). Calcule integralgamma F cdot d gamma

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos duas cilindricas dadas pelas equações e . A curva é a interseção dessas duas cilindricas entre os pontos e . Também temos um campo vetorial . O objetivo é calcular a integral de linha . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva x^2 + z^2 = 16 e y^2 + z^2 = 16 . Observando as equações das cilindricas:
x = 4cos(theta) y = 4cos(theta) z = 4sin(theta)
Podemos perceber que , o que implica que . Observando os pontos e , vemos que em ambos os casos. Portanto, podemos considerar para a parametrização.
Vamos parametrizar e usando um ângulo :
Aqui, como , o raio é 4.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para o parâmetro x = 2 = 4cos(thetaA) Rightarrow cos(thetaA) = 24 = 12 Rightarrow thetaA = pi3 com base nos pontos x = 2raiz3 = 4cos(thetaB) Rightarrow cos(thetaB) = 2raiz34 = raiz32 Rightarrow thetaB = pi6 e .
Para o ponto :
Para o ponto :
Portanto, varia de a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da parametrização em relação a dxdtheta = -4sin(theta) dydtheta = -4sin(theta) dzdtheta = 4cos(theta) para obter dgamma = ( -4sin(theta), -4sin(theta), 4cos(theta) ) dtheta :
F(x, y, z) = ( x^2 + z^2, x^2 + y^2, y^2 + z^2 )
Então,
F = ( 16, 2x^2, 16 ) = ( 16, 2(4cos(theta))^2, 16 ) = ( 16, 32cos^2(theta), 16 )
Agora, substituímos a parametrização na função :
Como e , temos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dgamma = 16 cdot (-4sin(theta)) + 32cos^2(theta) cdot (-4sin(theta)) + 16 cdot 4cos(theta) :
F cdot dgamma = -64sin(theta) - 128cos^2(theta)sin(theta) + 64cos(theta)
Simplificando:
integralgamma F cdot dgamma = integralpi3^pi6 ( -64sin(theta) - 128cos^2(theta)sin(theta) + 64cos(theta) ) dtheta
Então, a integral de linha fica:
I = -64 integralpi3^pi6 sin(theta) dtheta - 128 integralpi3^pi6 cos^2(theta)sin(theta) dtheta + 64 integralpi3^pi6 cos(theta) dtheta
Vamos separar a integral em três partes:
I = -64 [ -cos(pi6) + cos(pi3) ] - 128 [ -cos^3(pi6)3 + cos^3(pi3)3 ] + 64 [ sin(pi6) - sin(pi3) ]
Calculando cada integral:
  1. cos(pi6) = raiz32, cos(pi3) = 12, sin(pi6) = 12, sin(pi3) = raiz32
  2. Para I = -64 [ -raiz32 + 12 ] - 128 [ -( raiz32 )^33 + ( 12 )^33 ] + 64 [ 12 - raiz32 ] , fazemos substituição I = -64 ( 1 - raiz32 ) - 128 ( -3raiz3/83 + 1/83 ) + 64 ( 1 - raiz32 ) , I = -32(1 - raiz3) - 128 ( -raiz38 + 124 ) + 32(1 - raiz3) , então I = -32 + 32raiz3 + 128 cdot raiz38 - 128 cdot 124 + 32 - 32raiz3
  3. I = (-32 + 32) + (32raiz3 - 32raiz3) + 16raiz3 - 163
Substituindo os limites:
I = 16raiz3 - 163
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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