Seja a curva de interseção dos cilindros e entre os pontos e e seja . Calcule
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos duas cilindricas dadas pelas equações e . A curva é a interseção dessas duas cilindricas entre os pontos e . Também temos um campo vetorial . O objetivo é calcular a integral de linha . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva x^2 + z^2 = 16 e y^2 + z^2 = 16 . Observando as equações das cilindricas:
x = 4cos(theta) y = 4cos(theta) z = 4sin(theta)
Podemos perceber que , o que implica que . Observando os pontos e , vemos que em ambos os casos. Portanto, podemos considerar para a parametrização.
Vamos parametrizar e usando um ângulo :
Aqui, como , o raio é 4.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites para o parâmetro x = 2 = 4cos(thetaA) Rightarrow cos(thetaA) = 24 = 12 Rightarrow thetaA = pi3 com base nos pontos x = 2raiz3 = 4cos(thetaB) Rightarrow cos(thetaB) = 2raiz34 = raiz32 Rightarrow thetaB = pi6 e .
Para o ponto :
Para o ponto :
Portanto, varia de a .
Passo 4
Vamos calcular a derivada da parametrização em relação a dxdtheta = -4sin(theta) dydtheta = -4sin(theta) dzdtheta = 4cos(theta) para obter dgamma = ( -4sin(theta), -4sin(theta), 4cos(theta) ) dtheta :