Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
c) sumk=1^infty k(12)^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da razão para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e trabalhar com séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
A fórmula do teste da razão é:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde é o termo geral da série.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No exercício, temos:
ak = k(12)^k
Então, o próximo passo é calcular ak+1 = (k+1)(12)^k+1 :

Passo 4

Vamos montar a razão ak+1ak = (k+1)(12)^k+1k(12)^k = k+1k cdot 12 :
ak+1ak = (1 + 1k) cdot 12
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limk to infty (1 + 1k) cdot 12 conforme a fórmula do teste da razão:
L = (1 + 0) cdot 12 = 12
À medida que tende ao infinito, tende a 0. Então:

Resposta

Como , segundo o teste da razão, a série converge.

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