Verifique se é verdadeiro ou falso:
d) $ |x-1|<10^{-2} \Rightarrow |f(x)-3|<10^{-1}$, onde |x-1| < 10^-2 => |f(x)-3| < 10^-1

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa verificar se, quando a distância de para 1 é menor que (ou seja, ), isso garante que a distância de para 3 seja menor que (ou seja, ). Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades das funções lineares para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que está tão perto de 1 que a diferença absoluta entre eles é menor que 0,01. Em termos de intervalos, isso traduz para:

Passo 3

Agora, aplicamos a função nesses limites para ver onde cai. Vamos calcular e :

Passo 4

Então, quando está entre 0,99 e 1,01, está entre 2,96 e 3,04. Vamos verificar a distância de para 3:
Para :
Para :
Então, independentemente de estar próximo de 1 por cima ou por baixo, a distância de para 3 é no máximo 0,04.

Passo 5

A questão queria saber se sempre que . Como vimos que é no máximo 0,04, que é menor que 0,1, a implicação sempre se mantém verdadeira.

Resposta

Verdadeiro. Quando , então .

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