Verifique se é verdadeiro ou falso:
d) $ |x-1|<10^{-2} \Rightarrow |f(x)-3|<10^{-1}$, onde
d) $ |x-1|<10^{-2} \Rightarrow |f(x)-3|<10^{-1}$, onde
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e precisa verificar se, quando a distância de
para 1 é menor que
(ou seja,
), isso garante que a distância de
para 3 seja menor que
(ou seja,
). Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades das funções lineares para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
está tão perto de 1 que a diferença absoluta entre eles é menor que 0,01. Em termos de intervalos, isso traduz para:
Passo 3
Agora, aplicamos a função
nesses limites para ver onde
cai. Vamos calcular
e
:
Passo 4
Então, quando
está entre 0,99 e 1,01,
está entre 2,96 e 3,04. Vamos verificar a distância de
para 3:
Para
:
Para
:
Então, independentemente de
estar próximo de 1 por cima ou por baixo, a distância de
para 3 é no máximo 0,04.
Passo 5
A questão queria saber se
sempre que
. Como vimos que
é no máximo 0,04, que é menor que 0,1, a implicação sempre se mantém verdadeira.
Resposta
Verdadeiro. Quando
, então
.
Exercícios relacionados
Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
b)
b)
Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a)
a)
Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
c)
c)
Determine se a série alternada
converge. Justifique.