Determine se a série alternada
é convergente ou divergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série alternada
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries alternadas na matemática, onde os termos trocam de sinal. Para resolver isso, a gente vai usar o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar a convergência dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternante. Ou seja, vamos olhar para
. Esse é o termo
que precisamos analisar.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a sequência
é positiva, decrescente e se tende a zero quando
vai para o infinito.
Passo 4
Vamos simplificar
:
Quando
vai para o infinito,
tende a zero, então:
Então, o limite é zero.
Passo 5
Agora, vamos ver se
é decrescente. Para
,
diminui conforme
aumenta, já que o denominador cresce mais rápido que o numerador. Podemos também calcular
e verificar que
.
Passo 6
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, de acordo com o Teste da Série Alternada, a série
converge.
Resposta
A série alternada
converge.