Determine se a série alternada sumn=1^infty(-1)^n n+2n(n+1) é convergente ou divergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série alternada converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries alternadas na matemática, onde os termos trocam de sinal. Para resolver isso, a gente vai usar o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar a convergência dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternante. Ou seja, vamos olhar para . Esse é o termo que precisamos analisar.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a sequência é positiva, decrescente e se tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 4

Vamos simplificar bn = n+2n(n+1) = n+2n^2 + n = 1 + 2nn + 1 :
limn to infty bn = limn to infty 1n + 1 = 0
Quando vai para o infinito, tende a zero, então:
Então, o limite é zero.

Passo 5

Agora, vamos ver se é decrescente. Para , diminui conforme aumenta, já que o denominador cresce mais rápido que o numerador. Podemos também calcular e verificar que .

Passo 6

Como é positiva, decrescente e tende a zero, de acordo com o Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

A série alternada converge.

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