Resolva as equações ou inequações seguintes:
log2(x) - log4(x-1) = 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação . Aqui, estamos lidando com logaritmos de diferentes bases. Para resolver essa equação, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e transformar todos os logaritmos para a mesma base, facilitando assim a resolução.

Passo 2

Vamos começar convertendo o logaritmo de base 4 para base 2. Sabemos que pode ser reescrito em termos de usando a mudança de base:
Como , temos:

Passo 3

Substituindo essa expressão na equação original, ficamos com:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar a fração:

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que nos permite combinar múltiplos de logaritmos em potências:
Substituindo na equação:

Passo 5

Utilizando a propriedade de subtração de logaritmos, que corresponde à divisão dos argumentos:
Isso significa que:

Passo 6

Resolvendo a equação:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática. Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Simplificando a raiz quadrada:
Então:

Resposta

As soluções da equação são:

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