Resolva as equações ou inequações seguintes:
log2(3x + 2) - log2(1 - 2x) > 2

Passo 1

Vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com logaritmos e desigualdades. Para resolver, vamos usar propriedades dos logaritmos e técnicas de resolução de inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferença de logaritmos com a mesma base pode ser escrita como o logaritmo do quociente. Ou seja, . Aplicando isso na nossa inequação:

Passo 3

Agora, queremos eliminar o logaritmo para facilitar a resolução. Sabemos que se , então , desde que e . Como a base aqui é 2, que é maior que 1, podemos reescrever a inequação como:

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Para isso, multiplicamos ambos os lados por , mas precisamos considerar o sinal de porque, se for negativo, a desigualdade muda de direção.
Primeiro, determinamos quando é positivo e quando é negativo:
  • quando
  • quando
Vamos considerar esses dois casos.

Passo 5

Caso 1: (ou seja, )
Multiplicamos ambos os lados da inequação por (positivo), mantendo a direção da desigualdade:
Agora, somamos em ambos os lados:
Subtraímos 2:
Dividimos por 11:
Como neste caso , a solução é:

Passo 6

Caso 2: (ou seja, )
Multiplicamos ambos os lados da inequação por , que é negativo, invertendo a direção da desigualdade:
Somamos em ambos os lados:
Subtraímos 2:
Dividimos por 11:
No entanto, neste caso assumimos que . Como , não existe valor de x que satisfaça ambas as condições. Portanto, não há solução neste caso.

Resposta

A solução da inequação é .

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