Resolva as equações ou inequações seguintes:
Passo 1
Vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com logaritmos e desigualdades. Para resolver, vamos usar propriedades dos logaritmos e técnicas de resolução de inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a diferença de logaritmos com a mesma base pode ser escrita como o logaritmo do quociente. Ou seja,
. Aplicando isso na nossa inequação:
Passo 3
Agora, queremos eliminar o logaritmo para facilitar a resolução. Sabemos que se
, então
, desde que
e
. Como a base aqui é 2, que é maior que 1, podemos reescrever a inequação como:
Passo 4
Vamos resolver a inequação
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
, mas precisamos considerar o sinal de
porque, se for negativo, a desigualdade muda de direção.
Primeiro, determinamos quando
é positivo e quando é negativo:
-
quando -
quando
Vamos considerar esses dois casos.
Passo 5
Caso 1:
(ou seja,
)
Multiplicamos ambos os lados da inequação por
(positivo), mantendo a direção da desigualdade:
Agora, somamos
em ambos os lados:
Subtraímos 2:
Dividimos por 11:
Como neste caso
, a solução é:
Passo 6
Caso 2:
(ou seja,
)
Multiplicamos ambos os lados da inequação por
, que é negativo, invertendo a direção da desigualdade:
Somamos
em ambos os lados:
Subtraímos 2:
Dividimos por 11:
No entanto, neste caso assumimos que
. Como
, não existe valor de
que satisfaça ambas as condições. Portanto, não há solução neste caso.
Resposta
A solução da inequação é
.
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é convergente ou divergente?
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<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“23.295ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 10296.2 1000”><title>log2(x) - log4(x-1) = 2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“6C” d=“M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z”></path><path data-c=“6F” d=“M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 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750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(5779.2,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(6573.4,0)”><path 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</body></html>
Sejam
e
séries de potências. Determine os intervalos de convergência e divergência das séries.
Calcule os limites abaixo: