Sejam sumn=0^infty x^nn! e sumn=0^infty n!x^n séries de potências. Determine o raio de convergência das séries.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de potências juntos! A questão nos apresenta duas séries: sumn=0^infty x^nn! e sumn=0^infty n!x^n. Nosso objetivo aqui é descobrir o raio de convergência de cada uma dessas séries. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série converge, ou seja, para quais valores de 1R = limn to infty | an+1an | a série soma valores finitos. Para encontrar esse raio, uma ferramenta útil é o Teste da Razão.
Teste da Razão: Para uma série de potências da forma , o raio de convergência pode ser encontrado usando:
Se o limite existe e é igual a , então . Se , então , e se , então .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na primeira série: limn to infty | an+1an | = limn to infty | 1(n+1)!1n! | = limn to infty n!(n+1)! = limn to infty 1n+1 = 0 .
Aqui, R = 10 = infty . Vamos calcular o limite:
Como o limite é 0, isso significa que o raio de convergência é:
Então, a primeira série converge para todos os valores de .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na segunda série: limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+1)!n! | = limn to infty (n+1) = infty .
Aqui, R = 1infty = 0 . Vamos calcular o limite:
Como o limite é infinito, isso significa que o raio de convergência é:
Então, a segunda série só converge quando .

Resposta

  • O raio de convergência da série é .
  • O raio de convergência da série é .

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