Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Isso está dentro da matéria de séries infinitas, especificamente estudando a convergência de séries alternadas e absolutas. Para resolver isso, vamos precisar testar a convergência absoluta e, se necessário, a convergência condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que a gente ignora o termo alternado e analisa a série dos valores absolutos:
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série
converge ou diverge. Essa é uma série p, onde a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1.
Passo 4
Como
, a série
diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.
Passo 5
Agora que sabemos que a convergência absoluta não ocorre, vamos verificar a convergência condicional da série original
. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada
converge se:
- Os termos
são positivos; -
é decrescente; -
tende a zero quando tende ao infinito.
Passo 6
Vamos checar essas condições:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é decrescente porque, conforme aumenta, diminui. -
.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série
converge condicionalmente.
Resposta
A série
é condicionalmente convergente.