Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3 é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Isso está dentro da matéria de séries infinitas, especificamente estudando a convergência de séries alternadas e absolutas. Para resolver isso, vamos precisar testar a convergência absoluta e, se necessário, a convergência condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que a gente ignora o termo alternado e analisa a série dos valores absolutos: -1)^n-1.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série sumn=1^infty n^-1/3 converge ou diverge. Essa é uma série p, onde a série sumn=1^infty n^-p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 1/3, que é menor que 1.

Passo 4

Como p = 1/3 <= 1, a série sumn=1^infty n^-1/3 diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 5

Agora que sabemos que a convergência absoluta não ocorre, vamos verificar a convergência condicional da série original sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos;
  2. an é decrescente;
  3. an tende a zero quando n tende ao infinito.

Passo 6

Vamos checar essas condições:
  1. Os termos an = n^-1/3 são positivos.
  2. A sequência n^-1/3 é decrescente porque, conforme n aumenta, n^-1/3 diminui.
  3. limn to infty n^-1/3 = 0.

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3 converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3 é condicionalmente convergente.

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