Encontre a soma da série. sumn=1^infty[tan ^-1(n+1)-tan ^-1(n)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma da série que é:
sumn=1^infty[tan ^-1(n+1)-tan ^-1(n)]
Esse exercício está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, a séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar entender como essas séries funcionam e como podemos simplificar os termos para encontrar a soma final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever alguns termos dessa série para ver se conseguimos identificar um padrão:
Para tan^-1(2) - tan^-1(1) :
tan^-1(3) - tan^-1(2)
Para tan^-1(4) - tan^-1(3) :
Para :
E assim por diante. Vemos que cada termo tem uma parte positiva que cancela com a parte negativa do termo seguinte.

Passo 3

Esse tipo de série é chamada de série telescópica porque, ao somarmos, muitos termos se cancelam, assim como um tubo de esgoto telescópico que se fecha. Vamos somar os primeiros SN = [tan^-1(2) - tan^-1(1)] + [tan^-1(3) - tan^-1(2)] + dots + [tan^-1(N+1) - tan^-1(N)] termos para ver o que acontece:
SN = tan^-1(N+1) - tan^-1(1)
Observamos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 4

Agora, para encontrar a soma da série quando limN to infty SN = limN to infty [tan^-1(N+1) - tan^-1(1)] tende ao infinito, analisamos o limite de :
Sabemos que tende a quando tende ao infinito, e .

Passo 5

Substituindo os limites:
limN to infty SN = pi2 - pi4 = pi4

Resposta

A soma da série é .

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