Encontre a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma da série que é:
Esse exercício está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, a séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar entender como essas séries funcionam e como podemos simplificar os termos para encontrar a soma final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever alguns termos dessa série para ver se conseguimos identificar um padrão:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Vemos que cada termo tem uma parte positiva que cancela com a parte negativa do termo seguinte.
Passo 3
Esse tipo de série é chamada de série telescópica porque, ao somarmos, muitos termos se cancelam, assim como um tubo de esgoto telescópico que se fecha. Vamos somar os primeiros
termos para ver o que acontece:
Observamos que todos os termos intermediários
se cancelam, restando apenas:
Passo 4
Agora, para encontrar a soma da série quando
tende ao infinito, analisamos o limite de
:
Sabemos que
tende a
quando
tende ao infinito, e
.
Passo 5
Substituindo os limites:
Resposta
A soma da série é
.
Exercícios relacionados
Determine se a série é convergente ou divergente.
Resolva as seguintes inequações modulares:
Funções reais de uma variável real
- (1 PONTO) Calcule
e o domínio de , onde .
Encontre o domínio das seguintes funções:
.
Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.