Encontre a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma da série que é:
Esse exercício está relacionado ao estudo de séries infinitas e, mais especificamente, a séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar entender como essas séries funcionam e como podemos simplificar os termos para encontrar a soma final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever alguns termos dessa série para ver se conseguimos identificar um padrão:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. Vemos que cada termo tem uma parte positiva que cancela com a parte negativa do termo seguinte.

Passo 3

Esse tipo de série é chamada de série telescópica porque, ao somarmos, muitos termos se cancelam, assim como um tubo de esgoto telescópico que se fecha. Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Observamos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 4

Agora, para encontrar a soma da série quando tende ao infinito, analisamos o limite de :
Sabemos que tende a quando tende ao infinito, e .

Passo 5

Substituindo os limites:

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente.
Resolva as seguintes inequações modulares:

Funções reais de uma variável real

  1. (1 PONTO) Calcule e o domínio de , onde .
Encontre o domínio das seguintes funções: .
Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.