Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência para séries alternadas e também o teste da convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observe que:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
Essa é uma série do tipo , onde , que é menor que 1. Sabemos que séries do tipo convergem quando .
Passo 4
Portanto, a série dos valores absolutos converge, o que significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge de forma condicional, mas a convergência absoluta é uma condição mais forte e mais informativa.