Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n (n+1) 3^n2^2 n+1

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty(-1)^n (n+1) cdot 3^n2^2n+1
O objetivo é determinar se essa série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência para séries alternadas e também o teste da convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observe que:
2^2n+1 = 2 cdot 2^2n = 2 cdot (2^2)^n = 2 cdot 4^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty(-1)^n (n+1) cdot 3^n2 cdot 4^n = 12 sumn=1^infty(-1)^n (n+1) ( 34 )^n

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
sumn=1^infty | (-1)^n (n+1) cdot 3^n2 cdot 4^n | = 12 sumn=1^infty (n+1) ( 34 )^n
Essa é uma série do tipo , onde , que é menor que 1. Sabemos que séries do tipo convergem quando .

Passo 4

Portanto, a série dos valores absolutos converge, o que significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge de forma condicional, mas a convergência absoluta é uma condição mais forte e mais informativa.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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