Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série converge ou não. Se ela convergir, também precisamos achar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries geométricas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que . Então, a série fica:
Passo 3
Agora, temos uma série geométrica da forma onde . Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de precisa ser menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Calculando o valor absoluto de :
Como |r| < 1, a série converge.
Passo 5
Para encontrar a soma da série geométrica que começa no n=1, usamos a fórmula:
S = r1 - r
Substituindo r = -23:
S = -231 - ( -23 ) = -231 + 23 = -2353 = -25
Mas lembra que multiplicamos por 4 no começo, então a soma total é: