Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty (-1)^n+2 2^n+23^n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série sumn=1^infty (-1)^n+2 2^n+23^n converge ou não. Se ela convergir, também precisamos achar o valor da soma. Vamos usar conceitos de séries geométricas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que 2^n+2 = 2^n cdot 2^2 = 4 cdot 2^n. Então, a série fica:
sumn=1^infty (-1)^n+2 cdot 4 cdot 2^n3^n = 4 sumn=1^infty ( -23 )^n

Passo 3

Agora, temos uma série geométrica da forma sumn=1^infty r^n onde r = -23. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de r precisa ser menor que 1, ou seja, |r| < 1.

Passo 4

Calculando o valor absoluto de r:
| -23 | = 23 < 1
Como |r| < 1, a série converge.

Passo 5

Para encontrar a soma da série geométrica que começa no n=1, usamos a fórmula:
S = r1 - r
Substituindo r = -23:
S = -231 - ( -23 ) = -231 + 23 = -2353 = -25
Mas lembra que multiplicamos por 4 no começo, então a soma total é:
4 cdot ( -25 ) = -85

Resposta

A série converge e a sua soma é -85.

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